Lagrange-Bewegungsgleichungen
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Lagrange-Bewegungsgleichungen
[la'grãʒ-; nach J. L. de Lagrange],
Lagrange-Gleichungen, Mechanik: Bewegungsgleichungen für ein System aus
N Punktmassen. Die
Lagrange-Bewegungsgleichungen erster Art,
folgen aus dem
alembertschen Prinzip. Darin sind die
Ki die auf die
i-te Punktmasse (Masse
mi,
Ortsvektor ri) wirkenden eingeprägten Kräfte und die
Zi die durch
n < 3
N Bedingungsgleichungen beschriebenen
Zwangskräfte. Die Lösung dieses
Systems von 3
N Differenzialgleichungen 2.
Ordnung unter Beachtung der
n Bedingungsgleichungen liefert die 3
N kartesische Koordinaten xi,
yi,
zi sämtlicher Punktmassen als Funktionen der Zeit
t. Führt man anstelle der kartesischen
Koordinaten durch eine
Transformation unter Beachtung der
n Nebenbedingungen die
f = 3
N —
n verallgemeinerten Koordinaten
qk (
k = 1, 2,. ..,
f) sowie die zugehörigen verallgemeinerten Geschwindigkeiten
q̇k und verallgemeinerten Kräfte
Qk ein, so ergeben sich die
Lagrange-Bewegungsgleichungen zweiter Art
Dabei ist
T =
T (
q,
q̇,
t) die
kinetische Energie (
q und
q̇ stehen für alle
f verallgemeinerten Koordinaten beziehungsweise verallgemeinerten Geschwindigkeiten). Lassen sich die
Qk aus einem verallgemeinerten
Potenzial U (
q,
q̇,
t) ableiten,
so gehen diese Differenzialgleichungen 2. Ordnung über in
wobei
L =
T —
U die
Lagrange-Funktion des Systems ist. Die Lagrange-Bewegungsgleichungen zweiter Art werden häufig als Lagrange-Gleichungen schlechthin bezeichnet, besonders in der zweiten Form, in der sie auch aus dem
Hamilton-Prinzip, einem Variationsprinzip, gewonnen werden können, für welches sie die Euler-Lagrange-Differenzialgleichungen sind (
Variationsrechnung).
Universal-Lexikon.
2012.
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